Несмотря на то что, на первый взгляд, уравнения (1) и (2) выглядят просто, необходимо обратить внимание на присутствующий в символической записи функции соседства h (t) ijс индекс с . Это . переменный индекс, и его значение зависит от всех r (t) и всех m (t) k , причем такая зависимость не является непрерывной. Это обстоятельство усложняет программную реализацию данного алгоритма.
Метод АНС определяет подгонку «интеллектуальной» сети к зависящей от r (t) функции плотности распределения p(r ) вектора входных данных в n -мерном пространстве. Его основой является так называемая программа вызова (recall schedule), в которой задается, каким образом в процессе вызовов изменяются параметры, связанные с откликом сети. Алгоритмы этой программы были описаны выше.
Асимптотические свойства алгоритма АНС в общем случае пока строго математически не доказаны.
Кроме этого, не определена аналитическая форма предела сходимости и не доказано, что он является единственным.
Положительные ответы получены только для частных случаев. Однако двадцатилетняя практика использования самоорганизующихся сетей показывает, что при условии осмысленного выбора значений (t) и h (t) ij , а также начальных значений модельных векторов * k m , сходимость действительно всегда наблюдается.
Чтобы понять математическую основу данного утверждения, высказанную здесь в форме постулата, рассмотрим некоторые общетеоретические понятия.
АНС относится к общему классу динамических систем (dynamic system), под которыми понимаются системы, состояние которых изменяется с течением времени.
Простой разновидностью динамической системы является система линейных уравнений. Система нелинейных уравнений определяет нелинейную динамическую систему. В математике система, описываемая дифференциальным или разностным уравнением, . это система, изменение состояния которой является функцией времени или параметров системы. Состояния узлов, а значит . Состояние рассмотренной выше АНС . как раз является функцией и времени, и входных параметров системы (хотя в виде дифференциальных или разностных уравнений она здесь не описывалась). Поэтому АНС полностью подпадает под определение нелинейной динамической системы.
Начальная точка динамической системы называется начальным состоянием. Конечная точка или точки определяются термином состояния равновесия. В промежутке между ними находятся переходные состояния. Динамическая система может иметь два типа состояний равновесия . периодические и апериодические. Апериодическими состояниями равновесия являются так называемые хаотические или странные аттракторы.
Для того чтобы пояснить значение термина «аттрактор», рассмотрим сначала понятие фазового пространства.
